Leia Mais...
História da Matemática
Desde os tempos de Hamurábi, - sexto rei ( 1793-1759 a.C. ) da primeira dinastia da Babilônia. - , os babilônios possuíam um sistema numérico e uma geometria. No sistema de numeração eles adotavam tanto a base quanto o modo de ler, variável e os sinais usados para representar os números eram cuneiformes, isto é, antigas escritas ( dos Assírios, persas e medos ) cujos caracteres tem a forma de cunha. Os babilônios empregaram sistemas decimais e frações sexagesimais, os mais usados nas tabelas para calcular peso e volumes. Os astrólogos, que procuravam relacionar os acontecimentos diários com a posição dos astros, promoveram algum aperfeiçoamento empírico, estabelecendo regras operacionais e resolvendo alguns problemas aritméticos. São conhecidos vários documentos que contém tábuas de multiplicação, de divisão, de quadrados e raízes quadradas, de cubos, de progressões aritméticas e geométricas e algumas tabelas particulares provavelmente empregadas em cálculos especiais. O maior número que integra os documentos já decifrados é da ordem de 608. O sistema de frações sexagesimais, foi transferido Grécia e posteriormente para a Europa, sendo até hoje clara a sua influência, que se perpetuou através do hábito de medir o tempo e os ângulos.
Papiro Rhind
No Egito antigo foram obtidos empiricamente uma grande quantidade de regras matemáticas possibilitando a solução de numerosos problemas aritméticos e algébricos. A falta de conhecimentos existentes naquela época chegaram posteriormente através de alguns papiros, dos quais o mais famoso é o Papiro Rhind, decifrado em 1877 contendo algumas regras sobre operações com frações. Este documento data do século XVII a.C. e teria sido copiado pelo escriba Ahmes de outro documento ainda mais antigo, ou seja, data do século XIX a.C. O modo pelo qual operavam as frações permitiu identificar as regras dos sistemas de numeração empregados. O estabelecimento do ano de 365 dias pertence, também aos egípcios.
Os documentos decifrados da antiga civilização maia mostram que as tribos que habitavam a América conheciam e empregavam um sistema de numeração de base vinte e que tudo indica, tenha sido introduzido paralelamente ao estabelecimento de seu calendário. Representavam seus números por meio de pontos e barras, sendo que o ponto representava uma unidade e a barra um conjunto de cinco pontos. Usavam também outro tipo de representação , em que cada número menor do que 20 tinha sua própria figura, em geral semelhante a cabeças humanas.
Vários povos do passado utilizavam não só as propriedades da geometria, caracterizada na Grécia como ciência, como também possuíam suas próprias regras a fim de realizarem medições de áreas e volumes. Os babilônios e os assírios, por exemplo, conseguiram reunir muitos conhecimentos de astronomia, mediante cálculos que realizavam sobre observações sistemáticas, sabendo calcular áreas de triângulos e quadriláteros, volumes de primas e de pirâmides. Ademais, tinham noções a respeito de semelhanças entre triângulos e de algumas relações entre triângulos e círculos, sabendo dividir a circunferência em arcos iguais. Os egípcios mediam com perfeição áreas de inúmeras figuras, volumes de alguns poliedros e até mesmo de corpos redondos. Conheciam, também, muitas propriedades dos triângulos, em particular aquela que mostra que o triângulo de lados 3, 4 e 5 é retângulo, passando-se a se chamar triângulo egípcio, e que empregavam para traçar ângulos retos.
Todos esses conhecimentos eram obtidos exclusivamente através de tentativas constituindo-se apenas um simples conjunto de receitas.
As matemáticas começaram evoluindo através dos gregos que atribuíram aos egípcios a origem da Geometria aproximadamente 3.000 a.C. e aos fenícios a invenção do cálculo.
Cabe salientar que em seu devotamento ao estudo dos fenômenos celestes, os babilônios foram, antes dos gregos, os que mais se aproximaram da ciência. Segundo Platão, o céu foi o grande mestre do cálculo dos homens. Deram aos caldeus a oportunidade de inventar a numeração sexagesimal. Os gregos criaram, com a finalidade de estudar, uma ciência especial denominada Esférica, para cujo desenvolvimento os alexandrinos constituíram a Trigonometria e, durante a Renascença, foram inventados os logaritmos.
Os primeiros filósofos gregos trouxeram da terra dos faraós os elementos básicos da Geometria. Dentre os filósofos destacamos abaixo, os gênios, os quais se deve a constituição do que chamamos as matemáticas elementares.
Tales - ( cerca de 640 - 547 a.C. ) como um dos mais antigos representantes da mais remota fase da matemática grega, atribuindo-se importantes trabalhos referentes semelhança de triângulos, emprego de arcos de círculos para medição de ângulos, a medida da altura de um monumento pela sombra projetada, a explicação dos eclipses do Sol e da Lua.
Entre os discípulos de Tales, destacaram-se Anaximandro, mais astrônomo que geômetra, considerado o primeiro autor de uma carta geográfica e inventor das esferas celestes; Anaxímenes, que estudou a quadratura do círculo e desenvolveu métodos de medidas dos ângulos; e Anaxágoras, que se consagrou como filósofo.
Pitágoras - ( cerca de 580 - 500 a.C. ), de Samos, que conseguiu reunir grande soma de conhecimentos matemáticos. A escola dele, procurava justificar todas as coisas através dos números e em muitos aspectos se assemelhava a verdadeira seita mística. O famoso teorema que afirmava ser o quadrado construído sobre a hipotenusa de um triângulo retângulo equivalente soma dos quadrados construídos sobre os catetos foi a maior glória e, paradoxalmente, a maior derrota dessa escola. Como não tinham a noção de número irracional, não conseguiram explicar a incomensurabilidade entre o lado e a diagonal de um quadrado. Os princípios que defendiam foram objetos de severas críticas do gênio percuciente de Zenão e terminaram desacreditados. Entre seus mais notáveis representantes encontra-se Arquitas de Tarento, cujo maior mérito consistiu em apresentar uma solução para o problema de duplicação do cubo; a ele são também atribuídas numerosas invenções mecânicas.
Platão - ( 429 - 347 a.C. ) e Aristóteles**ocuparam-se também das matemáticas, com a genialidade que marcou todas as participações desses dois sábios, porém não apresentaram contribuição pessoal ao conhecimento matemático propriamente dito, dedicando-se a realizar críticas sobre métodos e normas de raciocínio.
A ciência helênica estendeu-se em seguida Sicília e ao Sul da Itália, passou novamente pelo mar Egeu e fixou-se, enfim, em Alexandria, onde brilharam os mais ilustres matemáticos da Antiguidade, sendo dessa época os seguintes filósofos:
Euclides - ( século III a.C. ) foi o primeiro grande matemático, organizando uma extraordinária síntese dos conhecimentos anteriores, subordinando-os a regras lógicas convenientes e extraindo suas mais importantes consequências. Seus Elementos, que fundavam o método axiomático, constituem um prodigioso exemplo, único em toda a história da ciência, de um livro que serviu a gerações sucessivas de estudantes durante mais de dois mil anos.
Arquimedes - ( 287 - 212 a.C. ) por muitos considerado o maior matemático de todos os tempos, foi o original inventor de métodos novos em geometria, todos de extraordinário engenho. Desenvolveu a teoria das alavancas, fundou a hidrostática e a teoria dos corpos flutuantes, foi inventor de incontáveis aparelhos de aplicação prática, aperfeiçoou o método da exaustão e com ele obteve importantes resultados. Resolveu inúmeros problemas de quadratura, estudou os corpos redondos ( esfera, cone e cilindro ), enunciando suas principais propriedades, estudou várias curvas entre as quais a espiral, desenvolveu muitas propriedades no campo da aritmética, sendo sua influência marcante e até hoje são estudados os teoremas, as suas contribuições física e engenharia.
Apolonio de Perga - ( fim do séc. III e início do séc. II ) - foi outro grande geômetra , criador da teoria das cônicas, tendo realizado minucioso estudo a respeito destas curvas, servindo de base, seus trabalhos, para as grandes conquistas da astronomia da era moderna.
Eratóstenes - ( 275 - 195 a.C. ) era um astrônomo, descobriu um sistema para medir a circunferência da terra, interessava-se por filosofia, história, poesia, geografia e matemática.
O desenvolvimento das ciências matemáticas entre os séculos V e II antes de Cristo compreende, de uma parte, a teoria das razões e das progressões, tratada especialmente na música, e, de outra, a formação, ao lado das ciências teóricas, dos ramos considerados como concretos: Geometria subordinou-se a Geodésia e Aritmética a Logistica, para a qual se constituíram especialmente os métodos algébricos. Desde a época de Euclides a Astronomia deu origem Gnomônica e também Geometria Matemática. Surgiu, enfim, a mecânica. As idéias errôneas de Aristóteles** ( 384 a 322 a.C. ) acerca do movimento entravaram, porém, a criação da Dinâmica e, na Estática, o princípio fundamental da composição das forças não chegou a ser definido.
Submetido ao domínio romano, o mundo helênico apenas conservou o tesouro acumulado dos conhecimentos. Em Alexandria , durante um longo período ( até o século VI a.C. ) desenvolveu-se uma notável escola de grandes matemáticos destacando-se dentre seus representantes quatro gênios que citaremos abaixo:
Menelau - ( séc. II a.C. ) dedicou-se a estudar as propriedades da esfera, e seus resultados muito contribuíram como pioneiros distantes da trigonometria esférica.
Ptolomeu** - (séc. II d.C. ) através de sua obra principal, Almagesto, a par da imorredoura contribuição astronomia, apresenta muitos estudos matemáticos, entre os quais uma tabela para cálculo de cordas e arcos.
Pappus ou Papo - ( fim do séc. III d.C. ) foi criador da Trigonometria, realizou um estudo crítico dos conhecimentos anteriores, e apresentou numerosas contribuições originais geometria e aritmética. A Coleção matemática , que reúne seus principais trabalhos, serviu de inspiração para muitos matemáticos posteriores, durante bastante tempo.
Diofante - ( séc. III d.C. ) foi criador da Álgebra, contribuiu significativamente para aritmética e particularmente para a teoria dos números, estudando numeroso grupo de propriedades e efetuou uma revisão cuidadosa dos princípios que inspiravam as teorias sobre operações e solução de problemas.
Os primórdios da Idade Média assinalaram da Europa Ocidental a paralisação das Matemáticas teóricas e, até mesmo, sua decadência.
Na Idade Média e na Renascença difundiu-se no Ocidente a ciência dos gregos, dos árabes e dos hindus. Os príncipes árabes e os mongóis estimularam o estudo das matemáticas e mandaram traduzir as obras gregas de Bizâncio, mas prenderam-se sobretudo ciência da Ándia.
Os árabes adotaram o sistema de numeração escrita dos hindus; denominaram a Geometria - handasa ( arte hindu ); utilizaram, também, na Trigonometria o seno ( em lugar da corda ) e a tangente. Embora não tivessem tido trabalhos originais, transmitiram ao ocidente latino, juntamente com os elementos da ciência grega, os processos do cálculo numérico ( com os algarismos modernos ) e os do cálculo algébrico. Contudo, a álgebra árabe não ultrapassou o segundo grau.
Na antiga civilização hindu foram cultivados métodos matemáticos e sua astronomia também se desenvolveu bastante, embora pouco se conheça a respeito.
Bhaskara cuidou de soluções para equações e descobriu duas relações notáveis entre arco e corda que conduziam a razoável aproximação para o irracional raiz de 2; demonstrou graficamente o teorema de Pitágoras e estudou relações entre círculos, triângulos e retângulos.
Brahmagupta iniciou a análise indeterminada do segundo grau, sendo autor de um famoso tratado de astronomia, " Siddhanta ", onde oferece contribuições originais matemática.
A Álgebra hindu não empregava símbolos, porém exerceu importante influência nos trabalhos posteriores.
Na Antiguidade, merece especial referência a matemática dos árabes, principalmente por terem sido os mantenedores das tradições gregas, que introduziram na Europa. Traduziram as grandes obras gregas tais como os " Elementos de Euclides " e alguns trabalhos de Arquimedes, Menelau e Ptolomeu**. A figura de maior destaque é a do astrônomo e matemático al-Kw rizm®, que teria sido bibliotecário do califa al-Mamun por volta do ano 830. Sua obra foi claramente influenciada por Euclides e Diofanto e sua própria influência foi considerável, inclusive nos primórdios da civilização ocidental.
Papiro Rhind
No Egito antigo foram obtidos empiricamente uma grande quantidade de regras matemáticas possibilitando a solução de numerosos problemas aritméticos e algébricos. A falta de conhecimentos existentes naquela época chegaram posteriormente através de alguns papiros, dos quais o mais famoso é o Papiro Rhind, decifrado em 1877 contendo algumas regras sobre operações com frações. Este documento data do século XVII a.C. e teria sido copiado pelo escriba Ahmes de outro documento ainda mais antigo, ou seja, data do século XIX a.C. O modo pelo qual operavam as frações permitiu identificar as regras dos sistemas de numeração empregados. O estabelecimento do ano de 365 dias pertence, também aos egípcios.
Os documentos decifrados da antiga civilização maia mostram que as tribos que habitavam a América conheciam e empregavam um sistema de numeração de base vinte e que tudo indica, tenha sido introduzido paralelamente ao estabelecimento de seu calendário. Representavam seus números por meio de pontos e barras, sendo que o ponto representava uma unidade e a barra um conjunto de cinco pontos. Usavam também outro tipo de representação , em que cada número menor do que 20 tinha sua própria figura, em geral semelhante a cabeças humanas.
Vários povos do passado utilizavam não só as propriedades da geometria, caracterizada na Grécia como ciência, como também possuíam suas próprias regras a fim de realizarem medições de áreas e volumes. Os babilônios e os assírios, por exemplo, conseguiram reunir muitos conhecimentos de astronomia, mediante cálculos que realizavam sobre observações sistemáticas, sabendo calcular áreas de triângulos e quadriláteros, volumes de primas e de pirâmides. Ademais, tinham noções a respeito de semelhanças entre triângulos e de algumas relações entre triângulos e círculos, sabendo dividir a circunferência em arcos iguais. Os egípcios mediam com perfeição áreas de inúmeras figuras, volumes de alguns poliedros e até mesmo de corpos redondos. Conheciam, também, muitas propriedades dos triângulos, em particular aquela que mostra que o triângulo de lados 3, 4 e 5 é retângulo, passando-se a se chamar triângulo egípcio, e que empregavam para traçar ângulos retos.
Todos esses conhecimentos eram obtidos exclusivamente através de tentativas constituindo-se apenas um simples conjunto de receitas.
As matemáticas começaram evoluindo através dos gregos que atribuíram aos egípcios a origem da Geometria aproximadamente 3.000 a.C. e aos fenícios a invenção do cálculo.
Cabe salientar que em seu devotamento ao estudo dos fenômenos celestes, os babilônios foram, antes dos gregos, os que mais se aproximaram da ciência. Segundo Platão, o céu foi o grande mestre do cálculo dos homens. Deram aos caldeus a oportunidade de inventar a numeração sexagesimal. Os gregos criaram, com a finalidade de estudar, uma ciência especial denominada Esférica, para cujo desenvolvimento os alexandrinos constituíram a Trigonometria e, durante a Renascença, foram inventados os logaritmos.
Os primeiros filósofos gregos trouxeram da terra dos faraós os elementos básicos da Geometria. Dentre os filósofos destacamos abaixo, os gênios, os quais se deve a constituição do que chamamos as matemáticas elementares.
Tales - ( cerca de 640 - 547 a.C. ) como um dos mais antigos representantes da mais remota fase da matemática grega, atribuindo-se importantes trabalhos referentes semelhança de triângulos, emprego de arcos de círculos para medição de ângulos, a medida da altura de um monumento pela sombra projetada, a explicação dos eclipses do Sol e da Lua.
Entre os discípulos de Tales, destacaram-se Anaximandro, mais astrônomo que geômetra, considerado o primeiro autor de uma carta geográfica e inventor das esferas celestes; Anaxímenes, que estudou a quadratura do círculo e desenvolveu métodos de medidas dos ângulos; e Anaxágoras, que se consagrou como filósofo.
Pitágoras - ( cerca de 580 - 500 a.C. ), de Samos, que conseguiu reunir grande soma de conhecimentos matemáticos. A escola dele, procurava justificar todas as coisas através dos números e em muitos aspectos se assemelhava a verdadeira seita mística. O famoso teorema que afirmava ser o quadrado construído sobre a hipotenusa de um triângulo retângulo equivalente soma dos quadrados construídos sobre os catetos foi a maior glória e, paradoxalmente, a maior derrota dessa escola. Como não tinham a noção de número irracional, não conseguiram explicar a incomensurabilidade entre o lado e a diagonal de um quadrado. Os princípios que defendiam foram objetos de severas críticas do gênio percuciente de Zenão e terminaram desacreditados. Entre seus mais notáveis representantes encontra-se Arquitas de Tarento, cujo maior mérito consistiu em apresentar uma solução para o problema de duplicação do cubo; a ele são também atribuídas numerosas invenções mecânicas.
Platão - ( 429 - 347 a.C. ) e Aristóteles**ocuparam-se também das matemáticas, com a genialidade que marcou todas as participações desses dois sábios, porém não apresentaram contribuição pessoal ao conhecimento matemático propriamente dito, dedicando-se a realizar críticas sobre métodos e normas de raciocínio.
A ciência helênica estendeu-se em seguida Sicília e ao Sul da Itália, passou novamente pelo mar Egeu e fixou-se, enfim, em Alexandria, onde brilharam os mais ilustres matemáticos da Antiguidade, sendo dessa época os seguintes filósofos:
Euclides - ( século III a.C. ) foi o primeiro grande matemático, organizando uma extraordinária síntese dos conhecimentos anteriores, subordinando-os a regras lógicas convenientes e extraindo suas mais importantes consequências. Seus Elementos, que fundavam o método axiomático, constituem um prodigioso exemplo, único em toda a história da ciência, de um livro que serviu a gerações sucessivas de estudantes durante mais de dois mil anos.
Arquimedes - ( 287 - 212 a.C. ) por muitos considerado o maior matemático de todos os tempos, foi o original inventor de métodos novos em geometria, todos de extraordinário engenho. Desenvolveu a teoria das alavancas, fundou a hidrostática e a teoria dos corpos flutuantes, foi inventor de incontáveis aparelhos de aplicação prática, aperfeiçoou o método da exaustão e com ele obteve importantes resultados. Resolveu inúmeros problemas de quadratura, estudou os corpos redondos ( esfera, cone e cilindro ), enunciando suas principais propriedades, estudou várias curvas entre as quais a espiral, desenvolveu muitas propriedades no campo da aritmética, sendo sua influência marcante e até hoje são estudados os teoremas, as suas contribuições física e engenharia.
Apolonio de Perga - ( fim do séc. III e início do séc. II ) - foi outro grande geômetra , criador da teoria das cônicas, tendo realizado minucioso estudo a respeito destas curvas, servindo de base, seus trabalhos, para as grandes conquistas da astronomia da era moderna.
Eratóstenes - ( 275 - 195 a.C. ) era um astrônomo, descobriu um sistema para medir a circunferência da terra, interessava-se por filosofia, história, poesia, geografia e matemática.
O desenvolvimento das ciências matemáticas entre os séculos V e II antes de Cristo compreende, de uma parte, a teoria das razões e das progressões, tratada especialmente na música, e, de outra, a formação, ao lado das ciências teóricas, dos ramos considerados como concretos: Geometria subordinou-se a Geodésia e Aritmética a Logistica, para a qual se constituíram especialmente os métodos algébricos. Desde a época de Euclides a Astronomia deu origem Gnomônica e também Geometria Matemática. Surgiu, enfim, a mecânica. As idéias errôneas de Aristóteles** ( 384 a 322 a.C. ) acerca do movimento entravaram, porém, a criação da Dinâmica e, na Estática, o princípio fundamental da composição das forças não chegou a ser definido.
Submetido ao domínio romano, o mundo helênico apenas conservou o tesouro acumulado dos conhecimentos. Em Alexandria , durante um longo período ( até o século VI a.C. ) desenvolveu-se uma notável escola de grandes matemáticos destacando-se dentre seus representantes quatro gênios que citaremos abaixo:
Menelau - ( séc. II a.C. ) dedicou-se a estudar as propriedades da esfera, e seus resultados muito contribuíram como pioneiros distantes da trigonometria esférica.
Ptolomeu** - (séc. II d.C. ) através de sua obra principal, Almagesto, a par da imorredoura contribuição astronomia, apresenta muitos estudos matemáticos, entre os quais uma tabela para cálculo de cordas e arcos.
Pappus ou Papo - ( fim do séc. III d.C. ) foi criador da Trigonometria, realizou um estudo crítico dos conhecimentos anteriores, e apresentou numerosas contribuições originais geometria e aritmética. A Coleção matemática , que reúne seus principais trabalhos, serviu de inspiração para muitos matemáticos posteriores, durante bastante tempo.
Diofante - ( séc. III d.C. ) foi criador da Álgebra, contribuiu significativamente para aritmética e particularmente para a teoria dos números, estudando numeroso grupo de propriedades e efetuou uma revisão cuidadosa dos princípios que inspiravam as teorias sobre operações e solução de problemas.
Os primórdios da Idade Média assinalaram da Europa Ocidental a paralisação das Matemáticas teóricas e, até mesmo, sua decadência.
Na Idade Média e na Renascença difundiu-se no Ocidente a ciência dos gregos, dos árabes e dos hindus. Os príncipes árabes e os mongóis estimularam o estudo das matemáticas e mandaram traduzir as obras gregas de Bizâncio, mas prenderam-se sobretudo ciência da Ándia.
Os árabes adotaram o sistema de numeração escrita dos hindus; denominaram a Geometria - handasa ( arte hindu ); utilizaram, também, na Trigonometria o seno ( em lugar da corda ) e a tangente. Embora não tivessem tido trabalhos originais, transmitiram ao ocidente latino, juntamente com os elementos da ciência grega, os processos do cálculo numérico ( com os algarismos modernos ) e os do cálculo algébrico. Contudo, a álgebra árabe não ultrapassou o segundo grau.
Na antiga civilização hindu foram cultivados métodos matemáticos e sua astronomia também se desenvolveu bastante, embora pouco se conheça a respeito.
Bhaskara cuidou de soluções para equações e descobriu duas relações notáveis entre arco e corda que conduziam a razoável aproximação para o irracional raiz de 2; demonstrou graficamente o teorema de Pitágoras e estudou relações entre círculos, triângulos e retângulos.
Brahmagupta iniciou a análise indeterminada do segundo grau, sendo autor de um famoso tratado de astronomia, " Siddhanta ", onde oferece contribuições originais matemática.
A Álgebra hindu não empregava símbolos, porém exerceu importante influência nos trabalhos posteriores.
Na Antiguidade, merece especial referência a matemática dos árabes, principalmente por terem sido os mantenedores das tradições gregas, que introduziram na Europa. Traduziram as grandes obras gregas tais como os " Elementos de Euclides " e alguns trabalhos de Arquimedes, Menelau e Ptolomeu**. A figura de maior destaque é a do astrônomo e matemático al-Kw rizm®, que teria sido bibliotecário do califa al-Mamun por volta do ano 830. Sua obra foi claramente influenciada por Euclides e Diofanto e sua própria influência foi considerável, inclusive nos primórdios da civilização ocidental.
Todos esses conceitos foram introduzidos na matemática mediante percepções intuitivas e possuem íntima relação com objetos materiais e com figuras geométricas. No entanto, medida que o pensamento matemático foi caminhando no sentido da abstração, o raciocínio desligou-se das figuras. Dessa maneira, as idéias que apareciam vagas e confusas foram adquirindo precisão e os métodos da análise matemática, livres de qualquer intuição geométrica, permitiram o gradativo refinamento dos conceitos básicos e uma concatenação mais rigorosa entre as proposições fundamentais.
